لتماثل أصول الأعداد نفرض الأعداد كلها ثلاثًا ثلاثًا، فأعداد الأصناف متماثلة، فتستغني بأحدها وتضربه في أصل المسألة، تكون ثمانية عشر، منها تصبح.
وفي المثال الثاني لتداخل الأعداد، نفرض الإخوة ستة، ونبقي الجدات والبنات على عدتهن، فتدخل في عدد الإخوة، فتستغني به وتضربه في أصل المسألة، تكون ستة وثلاثين، ومنها تصح.
وفي المثال الثالث لتوافق الأعداد، نفرض الجدات ستًا والبنات تسعًا والإخوة خمسة عشر، فأعداد الأصناف متوافقة بالثلث، فنضرب ثلث أحدها في ثل الآخر، ثم في كامل الثلث تكون تسعين، ثم في أصل المسألة، تكون خمسمائة وأربعينن ومنها تصح.
وفي المثال الثالث لتوافق الأعداد، نفرض الجدات ستًا والبنات تسعًا والإخوة خمسة عشر، فأعداد الأصناف متوافقة بالثلث، فنضرب ثلث أحدها في ثل الآخر، ثم في كامل الثالث تكون تسعين، ثم في أصل المسألة، تكون خمسمائة وأربعين، ومنها تصح.
وفي المثال الرابع لتباين الأعداد، نفرض الأعداد المتقدمة على أوفاقها، فأعداد الأصناف متباينة فتضرب أحدها في آخر، ثم في الثالث تكون ثلاثين، ثم في أصل المسألة تكون مائة وثمانين، منها تصح.
وتعرف هذه المسألة بني الفرضين بالصماء، وهي التي تكون أعداد أصنافها مباينة لسهامها ومتباينة في أنفسها.
ولنعد المسألة الأولى لتمثيل النوع الثالث، وهي كما تقدم، زوجات وجدات وأخوات لأم، وإخوة لأب؛ أصلها من إثنى عشر. ففي المثال الأول تلماثل الأعداد الحاصلة من عدد رؤوس بعض الأصناف، ومن أوفاق بعضها، نفرض الزوجات أربعًا والجدات ثمانيًا والأخوات ست عشرة والإخوة أربعة، فسهام صنفين منها موافقة لعدد أصنافها، وسهام صنفين مباينة، ووفق ما وافق مع جملة ما باين متماثلة، فتستغني بأحدها وتضربه في المسألة تكون ثمانية وأربعين، منها تصح.
وفي المثال الثاني لتداخل الأعداد الحاصلة من الأوفاق وأصول الأعداد، نفرض عدد الإخوة ثمانية، ونقر سائر الأعداد على ما كانت عليه في المثال السابق، فيدخل جميعهمف ي عدد الإخوة، فتستغني به، وتضربه في أصل المسألة تكون ستة وتسعين، منها تصح.
وفي المثال الثالث لتوافق الأعداد المذكورة، نفرض الجدات عشرين، والأخوات أربعًا وعشرين، والإخوة أربعة عشر، والزوجات أربعًا، فجميع الأعداد الحاصلة يها من الأوفاق وأصول الأعداد متوافقة، فتضرب وفق أحدها في وفق آخر، ثم في وفق ثالث، ثم في كل الرابع، تكون أربعمائة وعشرين، ثم في أصل المسألة تكون خمسة آلاف وأربعين، منها تصح.
وفي المثال الرابع لتباين الأعداد المذكورة، نفرض عدد الجدات ستًا، وعدد الإخوات عشرًا، وعدد الإخوة سبعة، والوجات أربعًا، فجملة الأعد والأوفاق متباينة،
