بدأ منذ صغره في الانتقال لكسب العيش، حيث عمل فترة طويلة في الشركة العربية للسيارات بين منطقة القصيم والرياض والمنطقة الغربية، وكان عارفا بالطرق بين مدنها في وقت لم تكن الطرق مزفتة أو حتى ممهدة.
وقد قاد السيارة التي كانت أقلت الملك سعود بن عبد العزيز رحمه الله في أول زيارة له من مدينة بريدة إلى بلدة قبه عبر طريق رملي صعب المسار.
وخلال عمله في الشركة العربية ما بين الرياض ومكة المكرمة صادف سيارة الملك عبد العزيز بن عبد الرحمن آل سعود رحمه الله متعطلة في الطريق وكان موكبه بعيدًا عن السيارة التي يستقلها رحمه الله وما أن شاهد عبد العزيز الدبيب سيارة الملك عبد العزيز حتى قام بإصلاح العطل في السيارة فسأله الملك عن حاجته؟ ، فقال لا أريد إلا سلامتك، ثم ترك الملك عبد العزيز أحد رجاله عنده حتى وصول الموكب وقال له إذا جاء الموكب أعطه اللي قلت لك، وواصل الملك رحلته، وبعد وصول الموكب قام أحد رجال الملك عبد العزيز بإعطاء عبد العزيز الدبيب مالًا وأرزاقًا لا زال يتذكرها حتى اليوم.
ولعبد العزيز الدبيب إبنان، الأول عبد الكريم بن عبد العزيز الدبيب وبه يكني، وتلقى تعليمه في بريدة ثم عمل موظفًا في شركة أسمنت القصيم، وبعد تقاعده تفرغ للعمل الخاص، والابن الآخر هو نهار بن عبد العزيز الدبيب حيث يعمل في مستشفى الولادة والأطفال في بريدة بعد تخرجه من المعهد الصحي للبنين في بريدة في بداياته.