كتاب مجلة البحوث الإسلامية

إيجاد جذر المعادلة بطريقة التوسط لابن الهيثم - طريقة التوسط - ج: 4 - ص: 308

٢ - ب / جـ = د /هـ جـ / ب = هـ / د

٣ - ب / جـ = د / هـ ب / د= جـ / هـ

٤ - ب / جـ = د / هـ ب + جـ / جـ = د + هـ / هـ أو

ب – جـ / جـ = د – هـ / هـ

حيث إن ب جـ، د هـ

٥ - ب / جـ = د / هـ ب + د / جـ + هـ = ب / جـ = د / هـ

حيث إن ب / جـ = د / هـ ب / د = جـ / هـ من (٣)

لهذا ب + د / د = جـ + هـ / هـ من (٤)

إذا ب + د / جـ + هـ = د / هـ من (٣) ولكن د / هـ = ب / جـ

لذلك ب + د / جـ + هـ = ب / جـ = د / هـ

أوضح ابن الهيثم طريقة التوسط بافتراضه أن المعادلة المطلوب إيجاد جذرها الحقيقي التقريبي (س) = ٠ وأن جذريها الحقيقيين المعروفين هما س١، س٢ فاتباع الطريقة الآتية: * افترض أن س١ س٣ س٢

* س١/ ١ س٢/ ١ س١ س١ + س٢/ ١ + ١ س٢

لهذا س١ س١ + س٢/ ٢ س٢ س٣ = س١ + س٢/ ٢

وبتكرار هذه الطريقة مرة ثانية نجد أن الجذر الحقيقي التقريبي يوحد بين (س١، س٢)

س١ س١ + س٣/ ٢

مثال: احسب قيمة الجذر الحقيقي التقريبي الواقع بين ١، ٢ للمعادلة (س) = ٠

الحل: بما أن س١ س١+ س٢/ ٢ س٢ حيث إن س١ = ١، س٢= ٢.

لذا ١/ ١ ١+٢/ ١+١ ٢/ ١ ١ ١، ٥ ٢ س٣= ١، ٥ الجذر الحقيقي التقريبي

لو أريد إيجاد الجذر الحقيقي التقريبي الثاني لاعتبر (س١، س٣) الجذرين الحقيقين التقريبيين المعروفين.

١/ ١ ١+ ٣/ ١+ ٢ ٣/ ٢ ١ ٤/ ٣ ٣/ ٢ س٤ = ١.٣٣٠٠٠.